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問題解説
運動量保存則
運動量保存則の解説と応用例題に触れます。
【運動量保存則】
A
B
A
B
T
T
～学力向上ラボ～
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岡山進学研究塾
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岡山で理系に強い岡進研の
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衝突する物体がともに衝突前後で外力を受けない場合、運動量は保存される。
図1：2物体衝突モデル
質量と速度をそれぞれm1,v1、m2,v2とを持つ2物体が衝突する。反発係数をeとします。
図2：衝突時
衝突する瞬間は互いに同じ大きさの力(撃力)fを受けます。これは2つの物体を1つに纏めると内力とみなすことができます。衝突の前後ではこれ以外に力を受けることはありあません。図の矢印の向きを正とすると、両者の運動方程式はそれぞれ
・・・・①
・・・・②
①式と②式を足して
・・・・③
・・・・④
③、④式より
・・・・➄
➄式から速度は両者の運動量(mv)は時間によらず一定であることが分かる。
【Point】
反発係数が1でない場合、両者の力学的エネルギーは保存されません(衝突の際にエネルギーの損失が生じます)。しかし、運動量に関しては反発係数の値にかかわらず、外力(例えば物体と床の間の摩擦など)さえ作用しなければ保存されることが上記の証明によって分かります。
力学的エネルギー：反発係数=1のとき以外は保存されない
運動量：外力さえ作用しなければ反発係数に無関係に保存される。
このような例を考えてみましょう。
【解答･解説】
【Point】
糸が張ったとき(張力が作用する瞬間)と、それ以外で考慮しておく必要がある。張力が作用した瞬間は両者には以下のように作用する。
AとB、紐を一纏めで一つの物体とみなすと、張力Tは内力である。この構図は図2の場合と同様である。つまり、外力が作用しない→運動量保存則が成立する、と理解できる。
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・・・・⑤
・・・・⑥
・・・・（1）答え
・・・・（2）答え
B
・・・・⑦
・・・・⑧
・・・・（3）答え
A
B
張力作用直後、今後はAがBに接近し始める。Bは停止
・・・・（4）答え
2回目衝突直後
A
B
A
B
B
･･････
(1) 1回目の衝突衝突直後のAとBの速さをそれぞれでva、vbとする。運動量保存則より
反発係数の関係より
⑤、⑥式より
A：0 ,B：正の方向へv
(2) 両者の距離が最大となるのは、張力が作用した瞬間である。それまでAは停止しており、Bは等速ｖで正の方向へ移動するので、(1)の結果よりAとBの位置はそれぞれ
A：
B：
A
(3) 張力が作用する前後で運動量は保存される。張力作用直後のAとBの速さをva’、vb’とすると、作用前後で運動量保存則と反発係数の式より
⑦、⑧式より
A：正の方向へv ,B：0
(4) 張力作用直後から2回目衝突直前までは状況は一定である。2回目衝突直後のAとBの速さをva’’、vb’’とおくと、(1)、(3)と同様に
上記2式より
A：0 ,B：正の方向へv
(5) (1)～(4)までの結果より、1回衝突するたびに全体がxの正の方向へlだけ移動することが分かる。よってn回目の衝突直後はAとBは接触しており(厳密には微量離れてはいるが、解答の便宜上、接触していることにする)、その位置はともに(n-1)･lである。
・・・・（5）答え
1回目衝突直後
単振動ではありませんが、これも一つの周期運動です。(3)の計算結果でAがまたBに接近することが分かる時点で2回目の衝突直後が1回目と同じ結果になることは予想に難しくありません。そうなると(5)は解かなくとも分かる問題であると判断ができます。
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B
A
衝突前
衝突後
、
と表すことができる。
【反発係数は相対速度の比率】
下の図のようにA、Bが衝突するとします。
Bから見たAの衝突前後の相対速度はそれぞれ
であり、衝突前に対する衝突後の相対速度の比率は
ところで、衝突前後で相対速度の向きが逆転することを考えると、上記の符号は負であることが分かる。これに-1を掛けてやれば正の値となる。これが反発係数である。つまり、反発係数は衝突後の相対速度が衝突前よりどれだけ小さくなっているかを示す指標である( )。
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