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問題解説
2024年大問1
・・
【解説】
、
なので
において
より
、
となるので
において
ということは、
ですので、
とおいて両者の交点を調べます。
、
の周期を3倍したもの、
を微分すると
より
は単調増加と分かる。
n=1のときの両者グラフ
となるのは
であり、
の範囲で
のときである。
となるのは
の最小値は
のときであり、
となるのは
次に
より両者が上記以外に交点を持つことはない。
の解は x=0に近づき、
ｎの値が大→交点はx=0へ近づく
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大阪大学 理系数学
極限問題
問題は以下の通り。
(1) 方針を考えます。
fn(x)が実数解を1つのみもつ
→ 微分すると単調変化関数になるのでは？
(ⅰ) 単調変化ならば符号逆転(関数値が0になる)ところは1カ所しか有りません。
よって
は単調減少関数である。
(ⅱ) fn(x)=0となるxがおおよそどの位置に存在するのかを把握する。
→ (2)以降を解く際に役に立ちます。
は
から
両者のグラフは以下のようであると分かる。
さらに、
のときであり、このときの値は
よって、両者は
の範囲に1つのみ解を持つことが分かる。
nの値を大きくすると、
との交点も0(+0)へ近づく。このとき、交点は1つしか持たない。
《証明終》
【補足】
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(2) 答え
と
(3) 答え
(2) (1)より、nを大きくすると
との交点は0(+0)に近づくので
(3) 与式より
→
【総評】
(1)で解く形を固めてしまえば完答はほぼ確実な問題です。(1)は単調増加であることと、fn(0)=3/2 ( > 0)、x→∞でfn(x)→－∞を示せば解答として成り立ちます。敢えてここまで解説したのは(2)以降を見据えて(1)~(3)を一纏めで解くためです。
(実際の阪大受験での解答はここまでせずとも問題ありません。)(1)~(3)まで難易度は低めですので、いずれにしても完答したい問題です。
α<x<βの間に実数解を持つ。この考え方自体が2次数学には非常に重要です。今後もこうした解法で解く問題と多々出くわすでしょうから、これを機にマスターしてください。
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