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問題解説
岡山進学研究塾
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･･････ ⓪
･･････ ⓪’
岡山で理系に強い岡進研の
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フェルマーの最終定理(n=3)の証明
フェルマーの最終定理
3以上の自然数nに対して
を満たす自然数(x,y,z)の組は存在しない
自然数ｎに対する一般的な証明までの流れは以下をご参照ください。世界中の数学者が数百年かけてやっと辿り着いた長い旅路です。
n=3の場合のフェルマーの最終定理の証明
証明の前にn=1のとき、n=2のときはどうでしょうか？
n=1のとき
①を満たす自然数(x,y,z)の組は無数に存在する。
n=2のとき
⓪’を満たす自然数解は例えば
(x,y,z)=(3,4,5),(5,12,13)などが挙げられる。
z
x
y
平方数の和と言えば、三平方の定理が出てくると思います。
それでは、証明に入ります。今回の証明法は大学レベルの知識を用いずとも、高校数Ⅱまでの知識で対処可能という強みがございます。ちなみに、この証明法は前職のブログでも記載したことがあるものです。
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･･････ ①
,
のとき
より不適。
,
のとき
,
のとき
が成立する。
n=3の場合のフェルマーの最終定理の証明
整数×整数＝整数×整数の形を作れば、
条件を満たす整数(自然数)組は限定される
①式を因数分解すると
答えに近づくことができる
以下の4つに場合分けをする。
(ⅰ)
(x,y)は自然数につき、
つまり
条件から分かることを整理する
(ⅱ)
上記2式より
(x,y)は自然数につき、不適。
二つの式を連立させ、式変形
一つの結論が導き出される
(ⅲ)
ワンポイント
2式から
として解こうとすると、計算が面倒になります。
そこで、分かっている条件から不等式を作って絞り込むという流れで進めます。
(x,y,z)は自然数、もし
が成立するならば
が成立する。よって
さらに、z>x、z>y、2式を掛けると
と併せると
(x,y)は自然数ゆえ、上式を満たすには
(x-1),(y-1)の少なくとも一方は0でなければならないことが分かる。
xとyには式に対象性があるため、いずれかが0になる場合と、両方とも0になる場合とに分ける。
Zを消去し、(x,y)のみの不等式を作る
(x,y)に関する絞り込みが可能となる
(x-1),(y-1)は共に整数
x-1>0,y-1>0より
(x-1)(y-1)<0を満たすには
x-1=0,y-1=0を満たす必要がある
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a
・・・・
a
とおく。
x-1=y-1=0のとき
となり不適。
,
のとき
《岡進研の学年別育成プログラム》
学年別基本コース
(ⅲ)-a
y-1=0のとき
,
x≠0より
これが必要条件となる。
xのみの式を作る
とおく。 式が自然数解を持つのは、
f(x)=0を満たすxが自然数であることに同値である。
f(x)を微分して増減を調べ、解を求める
関数として処理する
f(x)は単調増加と分かる。つまり、
1
2
1<x<2の間に解を持つ
f(x)＝0となるxは一つのみである。
(符号逆転が解となるx)
f(1)＝-1<0、f(2)=3>0より
f(x)は1<x<2の間に唯一の解を持つ、つまり
a
式は自然数解を持たないことが分かる。
よってこの場合は不適である。
x=1のときも式の対象性を考慮し、結果はy=1のときと同様となる。
(ⅲ)-b
(ⅳ)
(ⅲ)より
を連立させると
x+y>0より両辺を(x+y)で割り
xy<2
x≧1,y≧1より上記を満たす(x,y)は
絞り込み
(x,y)=(1,1)のみである。
へ代入して
zが自然数とならないため不適。
以上、(ⅰ)~(ⅳ)より全ての場合において自然数解(x,y,z)は存在しない。
《証明終》
